Algebra a geometria

Inštalácia kurzu Lineárna algebra online.

Tento kurz je písaný v Scientific WorkPlace 3.5. Aby sa mohol používať, je potrebné nainštalovať si prehliadač Scientific Viewer. Tento si môžete stiahnuť z adresy http://www.mackichan.com . Keď máte prehliadač nainštalovaný, tak prekopírujte súbor On line bluem.cst (treba najprv rozbaliť) do adresára ...\Scientific Viewer\Styles\article. Pri prvom spustení prehliadača stlačte tlačidlo File. Z ponúknutého menu vyberte Open location a do dialógového okna napíšte adresu: http://aladin.fei.stuba.sk/~kapralik/LaOnline/LaOnline.tex. Stlačte tlačidlo Open a kurz je Vám k dispozícii. Kliknutím na zelený bold text sa dostanete do požadovanej časti.

Ukážka zadania na skúšku

Učebné texty vo formáte pdf a ps

Úlohy, ktoré treba odovzdať:

Kapitola:	Príklady:
Komplexné čísla	1a) 3e) 6f) 9c) 9e) 10b)
Polynómy	3c) 8a) 9c) 11c) 12b) 12e)
Racionálne funkcie	2b) 3c) 4d)
Aritmetické priestory	2b) 2c) 3b)
Matice a sústavy lin. rovníc	2a) 4b) 4e)
Matice	1d) 4e) 5a) 7a) 9b)
Determinanty	4c) 5b) 6b) 7b)
Metrické vlastnosti vektorov	2) 7) 9) 13)
Lineárne útvary v E₃	2b) 6b) 7c) 10b) 15a) 16b)
Kvadratické plochy	1c) 1g) 1i)

Otázky z algebry a geometrie

Komplexné čísla

§	Ako sa definuje absolútna hodnota komplexného čísla? Čo platí pre absolútnu hodnotu súčtu, súčinu, podielu komplexných čísel?
§	Čo je to amplitúda komplexného čísla a ako sa vypočíta?
§	Čo je to trigonometrický tvar komplexného čísla?
§	Ako sa realizuje operácia násobenia a delenia komplexných čísel v trigonometrickom tvare?
§	Vyslovte Moivreovu vetu (umocnenie komplexného čísla v trigonometrickom tvare).
§	Čo je to binomická rovnica a aké sú jej korene?
§	Ako sa rieši kvadratická rovnica (s komplexnými koeficientmi)?

Polynómy

§	Definujte polynóm a stupeň polynómu.
§	Uveďte kritérium pre rovnosť dvoch polynómov.
§	Čo je to Hornerova schéma a na čo sa využíva?
§	Definujte koreň polynómu. Ak c je koreň polynómu f, je tento polynóm deliteľný polynómom x-c vždy alebo len niekedy?
§	Definujte k-násobný koreň polynómu.
§	Uveďte vetu o racionálnych koreňoch polynómu s celočíselnými koeficientmi.
§	Popíšte algoritmus (postup) hľadania racionálnych koreňov polynómu s celočíselnými koeficientmi.
§	Ak číslo c je k-násobný koreň polynómu f, čo platí o čísle ?
§	Aký je to kanonický rozklad polynómu nad reálnymi resp. komplexnými číslami?

Racionálne funkcie

§	Ktoré racionálne funkcie nazývame elementárnymi zlomkami nad R?
§	Ktoré racionálne funkcie nazývame elementárnymi zlomkami nad C?
§	Popíšte postup pri rozklade racionálnej funkcie na elementárne zlomky.

Aritmetické priestory Rⁿ a Cⁿ

§	Čo je to lineárna kombinácia vektorov?
§	Definujte lineárnu závislosť a nezávislosť vektorov.
§	Vyslovte nutnú a postačujúcu podmienku lineárnej závislosti vektorov.

Matice a sústavy lineárnych rovníc

§	Čo nazývame elementárnou riadkovou operáciou na matici?
§	Čo nazývame elementárnou stĺpcovou operáciou na matici?
§	Aké sú to ekvivalentné (riadkovo ekvivalentné či stĺpcovo ekvivalentné) matice?
§	Definujte stupňovitú maticu.
§	Definujte redukovanú stupňovitú maticu.
§	Čo je to sústava m lineárnych rovníc o n neznámych a čo nazývame riešením tejto sústavy?
§	Aké sú to ekvivalentné sústavy lineárnych rovníc?
§	Čo nazývame elementárnou úpravou sústav lineárnych rovníc?
§	Vysvetlite Gaussovu eliminačnú metódu riešenia sústav lineárnych rovníc.

Matice

§	Definujte hodnosť matice.
§	Aký je vzťah medzi hodnosťou matice a počtom jej riadkov a stĺpcov?
§	Čo platí pre hodnosť stupňovitej matice?
§	Čo je to transponovaná matica k matici A?
§	Ako sú definované nasledujúce matice: štvorcová, diagonálna, jednotková, horná trojuholníková, dolná trojuholníková?
§	Aká je to regulárna matica, singulárna matica?
§	Ako sa definuje súčet matíc?
§	Ako sa definuje súčin matíc?
§	Uveďte vlastnosti, ktoré platia pre súčet a súčin matíc
§	Vyslovte nutnú a postačujúcu podmienku riešiteľnosti sústav lineárnych rovníc (Frobeniovu vetu).
§	Ktoré neznáme v sústave lineárnych rovníc sú ľubovoľne voliteľné a koľko ich je?
§	Nech, kde A je matica sústavy m lineárnych rovníc o n neznámych a B je jej pravá strana. Ako závisí počet riešení tejto sústavy rovníc od čísel m, n a r?
§	Definujte inverznú maticu k matici A.
§	Ku ktorým maticiam existuje inverzná matica?

Determinanty

§	Ako sa definuje determinant štvorcovej matice?
§	Aký je vzťah medzi determintmi matíc ?
§	Ako vypočítame determinant hornej resp. dolnej trojuholníkovej matice?
§	Čomu sa rovná determinant singulárnej matice?
§	Čo platí o determinante regulárnej matice?
§	Aký je vzťah medzi determinantami matíc A, B, ak matica B vznikne z matice A jednou elementárnou riadkovou resp. stĺpcovou operáciou?
§	Čo platí o riešení sústavy lineárnych rovníc, ak matica sústavy je regulárna (Cramerovo pravidlo)?

Analytická geometria v priestore

§	Čo sú to ekvipolentné orientované úsečky?
§	Čo je to vektor a čo sú súradnice vektora v danej karteziánskej súradnicovej sústave?
§	Čo je to rozdiel dvoch bodov?
§	Čo je to súčet bodu a vektora?
§	Ako je definovaný súčet dvoch vektorov a čo platí pre súradnice?
§	Ako je definovaný súčin reálneho čísla a vektora a čo platí pre súradnice?
§	Uveďte kritérium pre lineárnu závislosť a) dvoch, b) troch, c) štyroch a viac vektorov.
§	Ktoré vektory nazývame kolineárne resp. komplanárne?
§	Čo je to veľkosť vektora? Ako sa vypočíta pomocou súradníc?
§	Čo je to uhol dvoch vektorov?
§	Čo je to skalárny súčin dvoch vektorov? Ako sa vypočíta pomocou súradníc?
§	Kedy hovoríme, že dva vektory sú na seba kolmé?
§	Ako sa vypočíta pravouhlý priemet vektora do vektora ?
§	Ako definujeme vektorový súčin dvoch vektorov?
§	Uveďte vlastnosti vektorového súčinu.
§	Ako je definovaný zmiešaný súčin troch vektorov?
§	Uveďte vlastnosti zmiešaného súčinu.
§	Čo je to smerový vektor priamky?
§	Aké sú parametrické rovnice priamky, ktorá je daná bodom a smerovým vektorom?
§	Čo je to smerový vektor roviny?
§	Aké sú parametrické rovnice roviny, ktorá je daná bodom a dvomi lineárne nezávislými smerovými vektormi?
§	Čo je to normálový vektor roviny?
§	Ako určíme všeobecnú rovnicu roviny, ktorá je daná

	Ÿ bodom a normálovým vektorom,
	Ÿ bodom a dvomi lineárne nezávislými smerovými vektormi?

§	Ako určíme vzájomnú polohu

	Ÿ dvoch priamok,
	Ÿ priamky a roviny,
	Ÿ dvoch rovín,

ak priamky sú určené parametrickými rovnicami a roviny všeobecnými rovnicami?

§	Popíšte, ako určíme vzdialenosť bodu od

	Ÿ priamky,
	Ÿ roviny,

bez použitia vzorca.

§	Čo je to kvadrika?
§	Vymenujte kvadratické plochy a napíšte rovnice týchto plôch v základnej polohe.

Výsledky skúšky ()

Meno

Suma

Známka