%% This document created by Scientific Notebook (R) Version 3.5 %% Starting shell: article \documentclass{article} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL} %TCIDATA{Version=5.00.0.2570} %TCIDATA{} %TCIDATA{Created=Wednesday, February 10, 1999 13:29:48} %TCIDATA{LastRevised=Sunday, February 13, 2005 17:59:32} %TCIDATA{} %TCIDATA{} %TCIDATA{CSTFile=On line bluem.cst} %TCIDATA{PageSetup=72,72,72,72,0} %TCIDATA{Counters=arabic,1} %TCIDATA{AllPages= %H=36 %F=36,\PARA{038
\QTR{small}{Matematick\U{e1} anal\U{fd}za I online - Aplik\U{e1}cie diferenci\U{e1}lneho po\U{10d}tu - Ot\U{e1}zky\dotfill \thepage }} %} \newtheorem{theorem}{Theorem} \newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement} \newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm} \newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom} \newtheorem{case}[theorem]{Case} \newtheorem{claim}[theorem]{Claim} \newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion} \newtheorem{condition}[theorem]{Condition} \newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture} \newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary} \newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion} \newtheorem{definition}[theorem]{Definition} \newtheorem{example}[theorem]{Example} \newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise} \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \newtheorem{notation}[theorem]{Notation} \newtheorem{problem}[theorem]{Problem} \newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition} \newtheorem{remark}[theorem]{Remark} \newtheorem{solution}[theorem]{Solution} \newtheorem{summary}[theorem]{Summary} \newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}} \input{tcilatex} \begin{document} \author{A. U. Thor} \title{Lab Report} \date{The Date } \maketitle \begin{abstract} A Laboratory report created with Scientific Notebook \end{abstract} \section{Aplik\'{a}cie diferenci\'{a}lneho po\v{c}tu} \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{% %TCIMACRO{\hyperref{Obsah}{}{}{maindex.tex}}% %BeginExpansion \msihyperref{Obsah}{}{}{maindex.tex}% %EndExpansion } & \textbf{% %TCIMACRO{\hyperref{Obsah kapitoly}{}{}{M6.tex}}% %BeginExpansion \msihyperref{Obsah kapitoly}{}{}{M6.tex}% %EndExpansion } & \textbf{% %TCIMACRO{\hyperref{Cvi\v{c}enia}{}{}{C6.tex}}% %BeginExpansion \msihyperref{Cvi\v{c}enia}{}{}{C6.tex}% %EndExpansion } & \textbf{% %TCIMACRO{\hyperref{Index}{}{}{G1.tex}}% %BeginExpansion \msihyperref{Index}{}{}{G1.tex}% %EndExpansion } \\ \hline \end{tabular} \end{center} \section{Ot\'{a}zky} Preverte si znalosti z\'{\i}skan\'{e} v tejto kapitole. Zodpovedajte v\v{s}% etky ot\'{a}zky. Ak neviete nejak\'{u} ot\'{a}zku zodpoveda\v{t} znovu pre% \v{s}tudujte pr\'{\i}slu\v{s}n\'{u} \v{c}as\v{t} a op\"{a}\v{t} odpovedajte. Po d\^{o}kladnom preveren\'{\i} Va\v{s}ich vedomost\'{\i} sa venujte po\v{c}% \'{\i}taniu pr\'{\i}kladov. \begin{itemize} \item Definujte lok\'{a}lne minimum funkcie. \item Definujte lok\'{a}lne maximum funkcie. \item Definujte minimum funkcie. \item Definujte maximum funkcie. \item Formulujte posta\v{c}uj\'{u}cu podmienku existencie extr\'{e}mu. \item Formulujte nutn\'{u} podmienku existencie extr\'{e}mu. \item Definujte stacion\'{a}rny bod funkcie. \item Nech $f:\left\langle a,b\right\rangle \longrightarrow \mathbf{R}$ je spojit\'{a} funkcia. V ktor\'{y}ch bodoch m\^{o}\v{z}e ma\v{t} funkcia $f$ extr\'{e}m? \item Nech $f$ je diferencovate\v{l}n\'{a} na $\langle a,b\rangle $ a $c\in \left( a,b\right) $. Plat\'{\i} tvrdenie: ak $f^{\prime }(c)=0$, tak $f$ m% \'{a} v bode $c$ extr\'{e}m? \item Nech $f$ je diferencovate\v{l}n\'{a} na $\langle a,b\rangle $ a $c\in \left( a,b\right) $. Plat\'{\i} tvrdenie: ak m\'{a} $f$ v bode $c$ extr\'{e}% m, tak $f^{\prime }(c)=0$? \item Nech $f$ je diferencovate\v{l}n\'{a} na $\langle a,b\rangle $ a $c\in \left( a,b\right) $. Plat\'{\i} tvrdenie: ak $f^{\prime }(x)\neq 0$ na $% (a,b) $, tak $f$ m\'{a} extr\'{e}my len v~krajn\'{y}ch bodoch intervalu? \item Nech $f$ je diferencovate\v{l}n\'{a} na $\langle a,b\rangle $. Plat% \'{\i} tvrdenie: ak $f$ nem\'{a} extr\'{e}my na $(a,b)$, tak $f^{\prime }(x)\neq 0$ na $(a,b)$? \item Formulujte Rolleho vetu. \item Ke\v{d} vo formul\'{a}cii Rolleho vety \ vynech\'{a}me predpokad, \v{z}% e $f$ je diferencovate\v{l}n\'{a} na $\left( a,b\right) $, zostane tvrdenie Rolleho vety v platnosti? Uve\v{d}te pr\'{\i}klad! \item Ke\v{d} vo formul\'{a}cii Rolleho vety \ vynech\'{a}me predpokad, \v{z}% e $f\left( a\right) =f\left( b\right) $, zostane tvrdenie Rolleho vety v platnosti? Uve\v{d}te pr\'{\i}klad! \item Formulujte Cauchyho vetu. \item Zaru\v{c}uj\'{u} predpoklady Cauchyho vety, \v{z}e $g\left( b\right) -g\left( a\right) \neq 0$? \item Formulujte Lagrangeovu vetu. \item Pou\v{z}ite Lagrangeovu vetu na odhad $f(b)$ pomocou $f(a)$, ak $% f(x)=x^{3}$, $a=1$, $b=1{,}1$. \item Formulujte Taylorovu vetu. \item Nap\'{\i}\v{s}te n-t\'{y} Taylorov polyn\'{o}m v bode $x_{0}$. \item Nap\'{\i}\v{s}te Lagrangeov tvar zvy\v{s}ku po n-tom Taylorovom polyn% \'{o}me v bode $x_{0}.$ \item Formulujte L' Hospitalovo pravidlo. \item Je L' Hospitalovo pravidlo vhodn\'{e} na v\'{y}po\v{c}et lim\'{\i}t \quotedblbase typu'' $0.\infty ,\,\infty -\infty ,\,1^{\infty },\,\infty ^{0},\,0^{0}$? \item M\^{o}\v{z}eme pou\v{z}i\v{t} L'Hospitalovo pravidlo pri v\'{y}po\v{c}% te limity $\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x^{2}}?$ \item M\^{o}\v{z}eme pou\v{z}i\v{t} L'Hospitalovo pravidlo pri v\'{y}po\v{c}% te limity $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{\func{cotg}x}{x}?$ \item M\^{o}\v{z}eme pou\v{z}i\v{t} L'Hospitalovo pravidlo pri v\'{y}po\v{c}% te limity $\lim_{x\rightarrow \infty }x\limfunc{arccotg}x?$ \item M\^{o}\v{z}eme pou\v{z}i\v{t} L'Hospitalovo pravidlo pri v\'{y}po\v{c}% te limity $\lim_{x\rightarrow \infty }\frac{x-\sin x}{x+\cos x}?$ \item Existuje ku ka\v{z}dej r\'{y}dzomonot\'{o}nnej funkcii inverzn\'{a} funkcia? \item Formulujte nutn\'{u} a posta\v{c}uj\'{u}cu podmienku monot\'{o}nnosti funkcie na intervale. \item Nech $f\left( x\right) =\frac{1}{x}.$ Je funkcia $f$ klesaj\'{u}ca na $% D\left( f\right) ?$ \item Ak by pre spojit\'{u} funkciu $f:I\longrightarrow \mathbf{R}$, diferencovate\v{l}n\'{a} vn\'{u}tri intervalu $I$ platilo $f^{\prime }\left( x\right) \equiv 0$ na nejakom otvorenom podintervale intervalu $I$, mohla by funkcia $f$ by\v{t} rast\'{u}ca alebo klesaj\'{u}ca vo vn\'{u}tri $I$? \item Formulujte vetu o deriv\'{a}cii inverznej funkcie. \item Formulujte vetu o h\v{l}adan\'{\i} extr\'{e}mu pomocou zmeny znamienka prvej deriv\'{a}cie. \item Definujte konvexnos\v{t} grafu funkcie v bode a na intervale. \item Definujte konk\'{a}vnos\v{t} grafu funkcie v bode a na intervale. \item Formulujte nutn\'{u} a posta\v{c}uj\'{u}cu podmienku konvexnosti. \item Definujte inflexn\'{y} bod funkcie. \item Dok\'{a}\v{z}te (uveden\'{\i}m kontrapr\'{\i}kladu) nepravdivos\v{t} tvrdenia: ak $f\,^{\prime \prime }(c)=0$, tak $c$ je inflexn\'{y} bod funkcie $f$. \item Dok\'{a}\v{z}te (uveden\'{\i}m kontrapr\'{\i}kladu) nepravdivos\v{t} tvrdenia: ak $\forall x\in M=\left( 1,2\right) \cup \left( 2,3\right) $ a $% f\,^{\prime \prime }(x)>0$, tak\ $f$ je r\'{y}dzo konvexn\'{a} na $M?$ \item Formulujte vetu o zis\v{t}ovan\'{\i} extr\'{e}mu funkcie. \item Formulujte vetu o zis\v{t}ovan\'{\i} inflexn\'{e}ho bodu funkcie. \item Definujte asymptotu funkcie v bode $\infty .$ \item Formulujte vetu o v\'{y}po\v{c}te asymptoty v bode $\infty .$ \item Nap\'{\i}\v{s}te hlavn\'{e} body pri zis\v{t}ovan\'{\i} priebehu funkcie. \item Definujte exponenci\'{a}lnu funkciu. \item Na akom intervale je exponenci\'{a}lna funkcia klesaj\'{u}ca? \item Na akom intervale je exponenci\'{a}lna funkcia z\'{a}porn\'{a}? \item M\'{a} exponenci\'{a}lna funkcia inverzn\'{u} funkciu? Ak \'{a}no nap% \'{\i}\v{s}te ju. \item Nap\'{\i}\v{s}te deriv\'{a}ciu exponenci\'{a}lnej funkcie. \item Pre ak\'{e} $a$ je definovan\'{a} funkcia $a^{x}.$ \item Pre ak\'{e} $a$ je funkcia $a^{x}$ rast\'{u}ca? \item Pre ak\'{e} $a$ je funkcia $a^{x}$ klesaj\'{u}ca? \end{itemize} \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{% %TCIMACRO{\hyperref{Obsah}{}{}{maindex.tex}}% %BeginExpansion \msihyperref{Obsah}{}{}{maindex.tex}% %EndExpansion } & \textbf{% %TCIMACRO{\hyperref{Obsah kapitoly}{}{}{M6.tex}}% %BeginExpansion \msihyperref{Obsah kapitoly}{}{}{M6.tex}% %EndExpansion } & \textbf{% %TCIMACRO{\hyperref{Cvi\v{c}enia}{}{}{C6.tex}}% %BeginExpansion \msihyperref{Cvi\v{c}enia}{}{}{C6.tex}% %EndExpansion } & \textbf{% %TCIMACRO{\hyperref{Index}{}{}{G1.tex}}% %BeginExpansion \msihyperref{Index}{}{}{G1.tex}% %EndExpansion } \\ \hline \end{tabular} \end{center} \rule{6.5in}{0.04in} \textsl{Matematick\'{a} anal\'{y}za I} \section{Aplik\'{a}cie diferenci\'{a}lneho po\v{c}tu} \end{document}