%% This document created by Scientific Notebook (R) Version 3.5 %% Starting shell: article \documentclass{article} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% %TCIDATA{OutputFilter=LATEX.DLL} %TCIDATA{Version=5.00.0.2570} %TCIDATA{} %TCIDATA{Created=Wednesday, February 10, 1999 13:29:48} %TCIDATA{LastRevised=Sunday, February 13, 2005 17:54:39} %TCIDATA{} %TCIDATA{} %TCIDATA{CSTFile=On line bluem.cst} %TCIDATA{PageSetup=72,72,72,72,0} %TCIDATA{Counters=arabic,1} %TCIDATA{AllPages= %H=36 %F=36,\PARA{038
\QTR{small}{Matematick\U{e1} anal\U{fd}za I online - Spojitos\U{165} funkcie - Ot\U{e1}zky\dotfill \thepage }} %} \newtheorem{theorem}{Theorem} \newtheorem{acknowledgement}[theorem]{Acknowledgement} \newtheorem{algorithm}[theorem]{Algorithm} \newtheorem{axiom}[theorem]{Axiom} \newtheorem{case}[theorem]{Case} \newtheorem{claim}[theorem]{Claim} \newtheorem{conclusion}[theorem]{Conclusion} \newtheorem{condition}[theorem]{Condition} \newtheorem{conjecture}[theorem]{Conjecture} \newtheorem{corollary}[theorem]{Corollary} \newtheorem{criterion}[theorem]{Criterion} \newtheorem{definition}[theorem]{Definition} \newtheorem{example}[theorem]{Example} \newtheorem{exercise}[theorem]{Exercise} \newtheorem{lemma}[theorem]{Lemma} \newtheorem{notation}[theorem]{Notation} \newtheorem{problem}[theorem]{Problem} \newtheorem{proposition}[theorem]{Proposition} \newtheorem{remark}[theorem]{Remark} \newtheorem{solution}[theorem]{Solution} \newtheorem{summary}[theorem]{Summary} \newenvironment{proof}[1][Proof]{\textbf{#1.} }{\ \rule{0.5em}{0.5em}} \input{tcilatex} \begin{document} \author{A. U. Thor} \title{Lab Report} \date{The Date } \maketitle \begin{abstract} A Laboratory report created with Scientific Notebook \end{abstract} \section{Spojitos\v{t} funkcie} \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{% %TCIMACRO{\hyperref{Obsah}{}{}{maindex.tex}}% %BeginExpansion \msihyperref{Obsah}{}{}{maindex.tex}% %EndExpansion } & \textbf{% %TCIMACRO{\hyperref{Obsah kapitoly}{}{}{M4.tex}}% %BeginExpansion \msihyperref{Obsah kapitoly}{}{}{M4.tex}% %EndExpansion } & \textbf{% %TCIMACRO{\hyperref{Cvi\v{c}enia}{}{}{C4.tex}}% %BeginExpansion \msihyperref{Cvi\v{c}enia}{}{}{C4.tex}% %EndExpansion } & \textbf{% %TCIMACRO{\hyperref{Index}{}{}{G1.tex}}% %BeginExpansion \msihyperref{Index}{}{}{G1.tex}% %EndExpansion } \\ \hline \end{tabular} \end{center} \section{Ot\'{a}zky} Preverte si znalosti z\'{\i}skan\'{e} v tejto kapitole. Zodpovedajte v\v{s}% etky ot\'{a}zky. Ak neviete nejak\'{u} ot\'{a}zku zodpoveda\v{t} znovu pre% \v{s}tudujte pr\'{\i}slu\v{s}n\'{u} \v{c}as\v{t} a op\"{a}\v{t} odpovedajte. Po d\^{o}kladnom preveren\'{\i} Va\v{s}ich vedomost\'{\i} sa venujte po\v{c}% \'{\i}taniu pr\'{\i}kladov. \begin{itemize} \item Definujte spojitos\v{t} funkcie v bode. \item Nech s\'{u} funkcie $f,\,g$\textbf{\ }spojit\'{e} v bode $a$. Vyslovte tvrdenie o spojitosti pre funkciu $f+g$. \item Nech s\'{u} funkcie $f,\,g$\textbf{\ }spojit\'{e} v bode $a$. Vyslovte tvrdenie o spojitosti pre funkciu $fg$. \item Nech s\'{u} funkcie $f,\,g$\textbf{\ }spojit\'{e} v bode $a$. Vyslovte tvrdenie o spojitosti pre funkciu $\frac{f}{g}$. \item Nech je funkcia $\,g$\textbf{\ }je spojit\'{a} v bode $a$ a funkcia $f$ je spojit\'{a} v bode $g\left( a\right) $. Vyslovte tvrdenie o spojitosti pre funkciu $f\circ g$. \item Definujte spojitos\v{t} funkcie v bode z\v{l}ava. \item Definujte spojitos\v{t} funkcie v bode sprava. \item Plat\'{\i} tvrdenie: ak $\lim_{x\longrightarrow a^{+}}f\left( x\right) =\lim_{x\longrightarrow a^{-}}f\left( x\right) $, potom je funkcia $f$ je spojit\'{a} v bode $a$? Uve\v{d}te pr\'{\i}klad. \item Plat\'{\i} tvrdenie: nech je funkcia $f$ spojit\'{a} v bode $a,$ potom $\lim_{x\longrightarrow a^{+}}f\left( x\right) =\lim_{x\longrightarrow a^{-}}f\left( x\right) $? \item M\^{o}\v{z}e nasta\v{t} pr\'{\i}pad, \v{z}e funkcia $f$ je spojit\'{a} v bode $a$ a plat\'{\i} $\lim_{x\longrightarrow a^{+}}f\left( x\right) \neq \lim_{x\longrightarrow a^{-}}f\left( x\right) $? Od\^{o}vodnite, ak \'{a}no uve\v{d}te pr\'{\i}klad. \item Definujte spojitos\v{t} funkcie na mno\v{z}ine. \item \v{C}o rozumieme pod pojmom spojit\'{a} funkcia? \item \v{C}o rozumieme pod pojmom spojit\'{a} funkcia definovan\'{a} na uzavretom intervale $\left\langle a,b\right\rangle $? \item Nech $f:\left\langle a,b\right\rangle \longrightarrow \mathbf{R}$ je spojit\'{a} funkcia. M\^{o}\v{z}e existova\v{t} \v{c}\'{\i}slo $c\in \left\langle a,b\right\rangle $ tak\'{e}, \v{z}e $\lim_{x\longrightarrow c}f\left( x\right) =\pm \infty $ (v pr\'{\i}pade ak $c=a$ mysl\'{\i}me limitu $\lim_{x\longrightarrow a^{+}}f\left( x\right) =\pm \infty $, v pr% \'{\i}pade ak $c=b$ mysl\'{\i}me limitu $\lim_{x\longrightarrow b^{-}}f\left( x\right) =\pm \infty $)? Od\^{o}vodnite, ak \'{a}no uve\v{d}te pr\'{\i}klad. \item Plat\'{\i} tvrdenie: nech $f:\left( a,b\right) \longrightarrow \mathbf{% R}$ je spojit\'{a} funkcia, potom je $f$ na intervale $\left( a,b\right) $ ohrani\v{c}en\'{a}? Od\^{o}vodnite, uve\v{d}te pr\'{\i}klad. \item Plat\'{\i} tvrdenie: Ka\v{z}d\'{a} funkcia definovan\'{a} na uzavretom intervale je ohrani\v{c}en\'{a}? Uve\v{d}te pr\'{\i}klad. \item Plat\'{\i} tvrdenie: Existuje spojit\'{a} funkcia definovan\'{a} na otvorenom intervale, ktor\'{a} je ohrani\v{c}en\'{a}? Uve\v{d}te pr\'{\i}% klad. \item Plat\'{\i} tvrdenie: Ak funkcia definovan\'{a} na uzavretom intervale nie je ohrani\v{c}en\'{a}, tak nie je spojit\'{a}? Uve\v{d}te pr\'{\i}klad. \item Plat\'{\i} tvrdenie: Existuje spojit\'{a} funkcia definovan\'{a} na otvorenom intervale, ktor\'{a} m\'{a} minimum a nem\'{a} maximum? Uve\v{d}te pr\'{\i}klad. \item Plat\'{\i} tvrdenie: nech $f:\left( a,b\right) \longrightarrow \mathbf{% R}$ je spojit\'{a} funkcia, potom $f$ nadob\'{u}da na intervale $\left( a,b\right) $ minim\'{a}lnu aj maxim\'{a}lnu hodnotu? Od\^{o}vodnite, uve\v{d}% te pr\'{\i}klad. \item Plat\'{\i} tvrdenie: nech $f:\left\langle a,b\right\rangle \longrightarrow \mathbf{R}$ je spojit\'{a} funkcia. Nech plat\'{\i} $% f(a)\leq 0\leq f\left( b\right) $, potom existuje $c\in \left\langle a,b\right\rangle $ tak\'{e} \v{z}e $f(c)=0$? \item Plat\'{\i} veta: ak $f:\left\langle a,b\right\rangle \longrightarrow \mathbf{R}$ je spojit\'{a} funkcia, potom $f$ je na intervale $\left\langle a,b\right\rangle $\ ohrani\v{c}en\'{a}. Plat\'{\i} t\'{a}to veta, ke\v{d} predpoklad o spojitosti funkcie nebude plati\v{t} iba v jedinom bode $c$ z intervalu $\left\langle a,b\right\rangle $? Uve\v{d}te pr\'{\i}klad. \item Nech $f$ je funkcia definovan\'{a} na uzavretom intervale $\langle a,b\rangle $. Uve\v{d}te pr\'{\i}klady dokazuj\'{u}ce nepravdivos\v{t} nasleduj\'{u}ceho tvrdenia: ak $f$ je spojit\'{a} a $f(a)f(b)<0$, tak $f$ m% \'{a} na $\langle a,b\rangle $ pr\'{a}ve jeden kore\v{n}. \item Nech $f$ je funkcia definovan\'{a} na uzavretom intervale $\langle a,b\rangle $. Uve\v{d}te pr\'{\i}klady dokazuj\'{u}ce nepravdivos\v{t} nasleduj\'{u}ceho tvrdenia: ak $f(a)f(b)<0$, tak $f$ m\'{a} na $\langle a,b\rangle $ aspo\v{n} jeden kore\v{n}. \item Nech $f$ je funkcia definovan\'{a} na uzavretom intervale $\langle a,b\rangle $. Uve\v{d}te pr\'{\i}klady dokazuj\'{u}ce nepravdivos\v{t} nasleduj\'{u}ceho tvrdenia: ak $f(a)f(b)>0$, tak $f$ nem\'{a} na $\langle a,b\rangle $ \v{z}iaden kore\v{n}. \end{itemize} \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline \textbf{% %TCIMACRO{\hyperref{Obsah}{}{}{maindex.tex}}% %BeginExpansion \msihyperref{Obsah}{}{}{maindex.tex}% %EndExpansion } & \textbf{% %TCIMACRO{\hyperref{Obsah kapitoly}{}{}{M4.tex}}% %BeginExpansion \msihyperref{Obsah kapitoly}{}{}{M4.tex}% %EndExpansion } & \textbf{% %TCIMACRO{\hyperref{Cvi\v{c}enia}{}{}{C4.tex}}% %BeginExpansion \msihyperref{Cvi\v{c}enia}{}{}{C4.tex}% %EndExpansion } & \textbf{% %TCIMACRO{\hyperref{Index}{}{}{G1.tex}}% %BeginExpansion \msihyperref{Index}{}{}{G1.tex}% %EndExpansion } \\ \hline \end{tabular} \end{center} \rule{6.5in}{0.04in} \textsl{Matematick\'{a} anal\'{y}za I} \section{Spojitos\v{t} funkcie} \end{document}